http://geocnt.geonet.ru

Центр геоинформационных исследований
Равновеликие проекции трехосного эллипсоида

Russian Russian 
English English 
Espanol Spanish 

Равновеликие проекции трехосного эллипсоида



Предлагаются равновеликие проекции трехосного эллипсоида, для получения которых используется программа вычисления определенных интегралов, написанная на основе квадратурной формулы Гаусса. В настоящее время можно вычислять равновеликую цилиндрическую проекцию и равновеликую азимутальную проекцию. Меридианы в цилиндрической проекции отображаются при условии сохранения длин вдоль линии касания цилиндра. В азимутальной проекции нет искажений в полюсе проекции. Эллипс искажений (индикатриса Тиссо) показан в точках с координатами 0, 30, 60 градусов северной широты и 30, 60 южной широты и 0, 30, 60, 90, 120 градусов восточной долготы.

Постоянные параметры проекции:
- большая экваториальная полуось (для Эроса принимаем 15000 м)
- малая экваториальная полуось (для Эроса принимаем 7500 м)
- полярная полуось (для Эроса принимаем 7500 м)
Для азимутальной проекции дополнительно вводятся долгота среднего меридиана и центр карты (северный полюс, южный полюс, пересечение экватора и начального меридиана, пересечение экватора и меридиана 900).
Для цилиндрической проекции дополнительно вводится линия касания цилиндра(экватор, начальный меридиан, меридиан 900).
Сдвиг по горизонтали и вертикали вводится в тех же единицах, что и размеры полуосей.

Входные переменные
Планетоцентрическая широта и долгота от начального меридиана с положительным направлением на восток.
Выходные переменные
- прямоугольные координаты в проекции в единицах размеров полуосей. - горизонтально вправо, - вертикально вверх

Обозначения, используемые в формулах
В скобках даны имена переменных в программе.
- планетоцентрическая широта, то есть угол между радиус-вектором из центра эллипсоида на данную точку поверхности эллипсоида и плоскостью экватора (y_i – в градусах, b_1 – в радианах)
- долгота от начального меридиана (x_i – в градусах, la – в радианах)
- квадрат эксцентриситета произвольного эллипса (e_el_2)
- квадрат эксцентриситета экваториального эллипса (e_1_2)
- квадрат эксцентриситета полярного эллипса (сечение начального меридиана) (e_2)
- большая полуось эллипса меридианного сечения (d)
- квадрат эксцентриситета эллипса меридианного сечения (e_d_2)
E, G, F - коэффициенты Гаусса первой квадратичной формы, G0 - коэффициент G на экваторе
ω - угол между меридианом и параллелью планетоцентрической широты на эллипсоиде(в поперечной ориентировке угол между меридианом и параллелью поперечной системы координат)
Kscale – для цилиндрической проекции в нормальной ориентировке (и для азимутальной кроме полюса проекции) масштабный коэффициент по направлению перпендикулярному меридиану; для цилиндрической проекций в поперечной ориентировке (и для азимутальной кроме полюса проекции) масштабный коэффициент по направлению перпендикулярному меридиану поперечной системы координат.
Kmer – для цилиндрической проекции в нормальной ориентировке (и для азимутальной кроме полюса проекции) частный масштаб длин по меридиану; для цилиндрической проекций в поперечной ориентировке (и для азимутальной кроме полюса проекции) частный масштаб длин по меридиану поперечной системы координат.
Kpar – для цилиндрической проекции в нормальной ориентировке (и для азимутальной кроме полюса проекции) частный масштаб длин по параллели; для цилиндрической проекций в поперечной ориентировке (и для азимутальной кроме полюса проекции) частный масштаб длин по параллели поперечной системы координат.
ωproj – угол между меридианом и параллелью планетоцентрической широты в проекции.
θmax – максимальное искажение углов.

Вычисление проекции

Вычисление квадрата эксцентриситета экваториального эллипса


Вычисление квадрата эксцентриситета полярного эллипса


При заданном значении долготы







Равновеликая цилиндрическая проекция
Способ задания широты – планетоцентрическая


, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «1» , , нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»





, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «10», нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»


Равновеликая азимутальная проекция
Способ задания широты – планетоцентрическая





для северного полюса и для южного полюса, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «11» , , нижний предел интегрирования «» для северного полюса и «-» для южного, верхний предел интегрирования «», точность в радианах «» и


Используемая литература.
1. Бугаевский Л. М. Теория картографических проекций регулярных поверхностей. – М.: «Златоуст», 1999-144 с.
2. Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.
3. Никольский С. М. Квадратурные формулы. – М.: Наука, 1988.- 256 с.
4. Якоби К. Лекции и по динамике. Перевод с немецкого О. А. Полосухиной/Под редакцией проф. Н. С. Кошлякова – Л., Главная редакция общетехнической литературы, 1936. – 271 с.
5. Каган В. Ф.. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть первая/При редакционном участии Г. Б. Гуревича. – М., ОГИЗ Гостехихдат, 1941. – 512 с.
6. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. — 2-е изд., исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 632 с.
7. Нырцов М.В., Флейс М.Э., Борисов М.М.. Картографирование астероида 433 Эрос в равнопромежуточных вдоль меридианов цилиндрической и азимутальной проекциях трёхосного эллипсоида// Изв. Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2012. №1. С. 54-61

Программа пересчета в прямоугольные координаты

равновеликая цилиндрическая проекция(в разработке)
равновеликая азимутальная проекция(в разработке)
центр карты
линия касания
линия разрыва
долгота среднего меридиана
параллель круговых точек
долгота от до шаг
широта от до шаг
большая экваториальная полуось
малая экваториальная полуось
полярная полуось
сдвиг по горизонтали
сдвиг по вертикали
точность
М.В.Нырцов, М.Э.Флейс, М.М. Борисов