http://geocnt.geonet.ru

Центр геоинформационных исследований
Проекции трехосного эллипсоида

Russian Russian 
English English 
Espanol Spanish 

Картографические проекции трехосного эллипсоида



Предлагаются проекции трехосного эллипсоида, получаемые без использования приближенных вычислений с помощью рядов. Вместо этого используется программа вычисления определенных интегралов, написанная на основе квадратурной формулы Гаусса. В настоящее время можно вычислять равнопромежуточную вдоль меридианов цилиндрическую проекцию и равнопромежуточную вдоль меридианов азимутальную проекцию, цилиндрическую проекцию, сохраняющую угол между меридианом и параллелью и цилиндрическую проекцию Бугаевского, равноугольную проекцию К. Якоби.
Меридианы в цилиндрических проекциях отображаются при условии сохранения длин вдоль экватора. В равнопромежуточной азимутальной проекции нет искажений в полюсе проекции.

Постоянные параметры проекции:
- большая экваториальная полуось (для Эроса принимаем 15000 м)
- малая экваториальная полуось (для Эроса принимаем 7500 м)
- полярная полуось (для Эроса принимаем 7500 м)
Для азимутальной проекции дополнительно вводятся долгота среднего меридиана и центр карты (северный полюс, южный полюс, пересечение экватора и начального меридиана, пересечение экватора и меридиана 900).
Для цилиндрической проекции дополнительно вводится линия касания цилиндра(экватор, начальный меридиан, меридиан 900).
Сдвиг по горизонтали и вертикали вводится в тех же единицах, что и размеры полуосей.

Входные переменные
Широта в соответствии с выбранным способом её задания и долгота от начального меридиана с положительным направлением на восток. В дальнейшем предполагается добавить возможность положительного направления на запад.
Выходные переменные
- прямоугольные координаты в проекции в единицах размеров полуосей. - горизонтально вправо, - вертикально вверх

Обозначения, используемые в формулах
В скобках даны имена переменных в программе.
- условно-геодезическая широта, то есть угол между нормалью к эллипсу в плоскости меридианного сечения и линией пересечения этой плоскости с экваториальной плоскостью (y_i – в градусах, b_1 – в радианах)
- геодезическая широта, то есть угол между нормалью к поверхности трехосного эллипсоида и экваториальной плоскостью (y_i – в градусах, b_1 – в радианах).
- планетоцентрическая широта, то есть угол между радиус-вектором из центра эллипсоида на данную точку поверхности эллипсоида и плоскостью экватора (y_i – в градусах, b_1 – в радианах)
- долгота от начального меридиана (x_i – в градусах, la – в радианах)
- квадрат эксцентриситета произвольного эллипса (e_el_2)
- квадрат эксцентриситета экваториального эллипса (e_1_2)
- квадрат эксцентриситета полярного эллипса (сечение начального меридиана) (e_2)
- большая полуось эллипса меридианного сечения (d)
- квадрат эксцентриситета эллипса меридианного сечения (e_d_2)
xel , yel , zel - пространственные прямоугольные координаты
E, G, F - коэффициенты Гаусса первой квадратичной формы, G0 - коэффициент G на экваторе
ω - угол между меридианом и параллелью планетоцентрической широты на эллипсоиде
Kscale – для цилиндрических проекций в нормальной ориентировке (и для азимутальных кроме полюса проекции) частный масштаб длин по направлению перпендикулярному меридиану; для цилиндрических проекций в поперечной ориентировке (и для азимутальных кроме полюса проекции) частный масштаб длин по направлению перпендикулярному меридиану поперечной системы координат; для проекции Якоби коэффициент подобия.

Вычисление проекции

Вычисление квадрата эксцентриситета экваториального эллипса


Вычисление квадрата эксцентриситета полярного эллипса


При заданном значении долготы






Цилиндрическая проекция равнопромежуточная вдоль меридианов
Способ задания широты – условно-геодезическая


, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «1» , , нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»

, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «2», нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»

Цилиндрическая проекция равнопромежуточная вдоль меридианов
Способ задания широты – геодезическая


, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «1», нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»,
, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «3», нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»


Цилиндрическая проекция равнопромежуточная вдоль меридианов
Способ задания широты – планетоцентрическая


, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «1» , , нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»
, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «1» , , нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»

Для контроля правильности вычисления , можно также задавать планетоцентрическую широту через условно-геодезическую широту , используя подынтегральную функцию с номером 2, с заменой верхнего предела интегрирования . При этом условно-геодезическая широта вычисляется из соотношения:


Азимутальная проекция равнопромежуточная вдоль меридианов
Способ задания широты – планетоцентрическая


для северного полюса и для южного полюса, где
, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «1» , , нижний предел интегрирования «» для северного полюса и «-» для южного, верхний предел интегрирования «», точность в радианах «» и


Цилиндрическая проекция Бугаевского
Способ задания широты – планетоцентрическая


, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «1» , , нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»





, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «4», нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»


Цилиндрическая проекция, сохраняющая угол между меридианом и параллелью
Способ задания широты – планетоцентрическая


, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «1» , , нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»

На начальном меридиане , ,

, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «4», нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»



, то есть входные параметры для функции вычисления интеграла: номер подынтегральной функции «5», нижний предел интегрирования «0», верхний предел интегрирования «», точность в радианах «»

Равноугольная проекция К. Якоби
Способ задания широты – планетоцентрическая


, где u, v – эллиптические координаты на трехосном эллипсоиде

Используемая литература.
1. Бугаевский Л. М. Теория картографических проекций регулярных поверхностей. – М.: «Златоуст», 1999-144 с.
2. Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.
3. Никольский С. М. Квадратурные формулы. – М.: Наука, 1988.- 256 с.
4. Якоби К. Лекции и по динамике. Перевод с немецкого О. А. Полосухиной/Под редакцией проф. Н. С. Кошлякова – Л., Главная редакция общетехнической литературы, 1936. – 271 с.
5. Каган В. Ф.. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть первая/При редакционном участии Г. Б. Гуревича. – М., ОГИЗ Гостехихдат, 1941. – 512 с.
6. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. — 2-е изд., исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 632 с.
7. Нырцов М.В., Флейс М.Э., Борисов М.М.. Картографирование астероида 433 Эрос в равнопромежуточных вдоль меридианов цилиндрической и азимутальной проекциях трёхосного эллипсоида// Изв. Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2012. №1. С. 54-61

Программа пересчета в прямоугольные координаты

цилиндрическая проекция равнопромежуточная вдоль меридианов
условно-геодезическая
геодезическая
планетоцентрическая
планетоцентрическая через условно-геодезическую

азимутальная проекция равнопромежуточная вдоль меридианов
цилиндрическая проекция, сохраняющая угол между меридианом и параллелью
цилиндрическая проекция Бугаевского
азимутальная проекция, сохраняющая угол между меридианом и параллелью
проекция Якоби
центр карты
линия касания
линия разрыва
долгота среднего меридиана
параллель круговых точек
долгота от до шаг
широта от до шаг
большая экваториальная полуось
малая экваториальная полуось
полярная полуось
сдвиг по горизонтали
сдвиг по вертикали
точность
М.В.Нырцов, М.Э.Флейс, М.М. Борисов